Factorisation des polynomes de degré 2



 x² -x -6  =  (x-1/2)² - (1/2)² - 6

Cette écriture vient de la technique de la détermination de la forme canonique (vue en seconde et en début de 1S).

On utilise les identités remarquables  (a+b)² = a²+2ab+b²   ou   (a-b)² = a²-2ab+b²

Le principe : 
- on prend les deux premiers termes, c'est-à-dire l'expression formée du terme en x² et celui en x : ici en l'occurrence il s'agit donc de :   x²-x
- on considère alors que cette expression est le début du développement de l'identité remarquable, c'est-à-dire : on identifie ici cette expression avec le a²-2ab de la formule

Or x²-x est le début de (x-1/2)²   [puisque (x-1/2)² = x²-x +1/4 ]

On en déduit que   x²-x = (x-1/2)² - 1/4

En fait on utilise l'identité remarquable sous la forme : 
a² - 2ab  =  (a-b)²  - b²


On a déjà vu cette technique, sur le document d'exercices corrigés, à l'ex. 13 p. 11 (question b)
On y est même revenus brièvement au début du dernier cours.






Autres exemples


 
Pour factoriser par exemple  x² + 12x + 32  :

x² + 12x + 32 = x² + 12x + 32          (on reconnaît le début du développement de l'identité remarquable)
                      = (x+6)² - 36   +32
                      = (x+6)² - 4
                      = (x+6)² - 2²
                      = (x+6-2) (x+6+2)
                      = (x+4) (x+8)

On peut aussi opter pour cette présentation : 
x² + 12x + 32 = x² + 12x + 36 -36 + 32       (on fait "apparaître" le développement de l'identité remarquable)
                      = (x+6)² - 4
                      = (x+6)² - 2²
                      = (x+6-2) (x+6+2)
                      = (x+4) (x+8)





Pour factoriser par exemple  x² - 7x + 10  :

x² - 7x + 10 = x² - 7x + 10                    (on reconnaît le début du développement de l'identité remarquable)
                    = (x-7/2)² - 49/4   +10
                    = (x-7/2)² - 9/4
                    = (x-7/2)² - (3/2)²
                    = (x-7/2-3/2) (x-7/2+3/2)
                    = (x-5) (x-2)

ou avec l'autre présentation :
x² - 7x + 10 = x² - 7x + 49/4 - 49/4 + 10       (on fait "apparaître" le développement de l'identité remarquable)
                    = (x-7/2)²  +10
                    = (x-7/2)² - 9/4
                    = (x-7/2)² - (3/2)²
                    = (x-7/2-3/2) (x-7/2+3/2)
                    = (x-5) (x-2)




À noter qu'il y a une autre méthode (moins classe) pour factoriser les polynômes de degré 2 : 
- On détermine les racines x1 et x2  (à l'aide des formules avec le discriminant par exemple)
- On applique la formule ax²+bx+c = a(x-x1)(x-x2)




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